［２］低次元磁性
（２−１） Spin-1/2 Heisenberg 一次元鎖
・・・ Ｊ Ｊ´
Ｊ Ｊ´・・・
- Ｊ，Ｊ´＞０（強磁性的）
- 基底状態は強磁性（ただし一次元最近接系なのでＴＣ＝０）
- ＶＢなし
- χは低温に向かって単調増大
- G. A. Baker et al.: Phys. Rev. A
135 (1964) 1272.
- Y. Nakazawa et al.: Phys. Rev. B 46
(1992) 8906. の中の
- γ-p-NPNNの解析と文献も参照
- Ｊ ＜ ０ ＜Ｊ´（ Ｊ´--> ∞ で
Haldane 系）
Ｊ ＜Ｊ´＜ ０（Alternating antiferromagnetic
Heisenberg chain＝AAHC）
- Ｊ＝Ｊ´＜０（Uniform Heisenberg
Chain)・・・特異点
いわゆるBonner-Fisher
- 基底状態はスピンが縮んだNeel（反強磁性ＴＮ＝０）
- ＶＢの入り方は２通り（非直交）が縮退（uniqueでない）
- １つに決めると並進対称性が破れる
- スピン液体というそうです（Cf. ＲＶＢ）
- ギャップなし、スピン波近似ＯＫ
- スピン相関は距離のベキで減衰
- χは丸いピークを持って、Ｔ-->０でχ＞０（gapless）
- Ｔ＝０で、Ｍ
はＨ＝０からlinearに立ち上がる（gapless）
- Bethe-Hulthenによる厳密解がある
- 基底エネルギー： E＝[1＋2 (2 ln 2-1)] ＮＪ / ２
- 励起エネルギー：ΔE＝−Ｊπ|sinｑ |
（スピン波）
- 磁化率の数値fitting
- Ｗ．E. Hatfield et al.: Inorg. Chem.
19 (1980) 3825.
- （ ｘ の定義が分母分子逆）
- 極大値の計算は筆者
（２−２）Haldane系とＶＢＳ（Valence Bond Solid）
Haldane's conjecture
「一次元Heisenbergスピン鎖の基底状態は、
- Ｓ＝1/2, 3/2, ... (半奇数)のときgapless、
- Ｓ＝０, １, ２...（整数）のとき、縮退なしでgapの下」
(Ｓ＝０の場合は自明）
なにゆえstrikingだったか？
「 古典的な理論からすると、Ｓが整数か否かで
系の基底状態の性質が定性的に異なるのが信じ難い」
Ｓ＝半奇数のとき、スピン波理論がよい近似
- 励起状態は、基底状態のスピンを少しずつねじったもの
- 一次元の場合、反強磁性スピン相関が距離のベキ関数
Ｓ＝整数のとき、スピン波理論は破綻
- 基底状態のスピンをねじった状態が基底状態と非直交
- あとでわかることだが、結合電子対の片方の電子の
スピンを少しねじった状態が意味をなさないのと同様
Haldane基底状態の理解（厳密証明はまだ）
次のＶＢＳ(Valence bond solid)状態がよい近似
（Ｓ，ｍＳ
）は、ＶＢ両端がＳ＝０になるように
量子的に揺らいでいる（ゼロ点振動）・・・下図
- 三重項の内部揺らぎとＶＢの一重項反対称性がマッチ
- ミソは、Ｓ＝１が２電子からできていること
- 次のHamiltonianはＶＢＳが厳密な基底状態
基底状態の別の表現（隠れた秩序）
「ｍＳ＝１と−１が交互に並んだ状態に
適当にｍＳ＝０を挟んだもの
（これを称して乱れているという）」
ちょっと考えればわかるが、ｍＳの配列として、
1,1とか1,0,1とか-1,-1とか-1,0,0,-1は、
ＶＢＳ配列を破壊している
（これもスピン液体というそうです）
スピン相関
- 距離の指数関数で非常に速く減少
---- 一般に、化学結合系の結合力はかなり局所的
- ｍＳ＝１と−１の間にｍＳ＝０をいくつ挟んでもよいことに対応
ＶＢＳ基底状態からの励起
- スピンを少しずつねじったスピン波状態ではない
（そもそもねじるべきスピンが消失している）
- ＶＢを１つ切断した状態（の線形結合）〜三重項
- ＶＢの切断＝ local には一重項-三重項のCrossover
- ＶＢの切断エネルギー〜結合エネルギー 〜 Haldane gap
有限Haldane鎖の特徴（疑似四重縮重）
反強磁性スピン相関は短距離で減衰
--> 両端のＶＢＳに参加しないスピンはほとんど無相関
両端の２スピンについて、
Ｓ＝１（三重縮重）とＳ＝０とがほとんど縮重
要するに、ほとんど常磁性
（２−３）Haldane系の仲間
- 一次元系
- Ｊ＜０＜Ｊ´（ Ｊ´--> ∞ で
Haldane系） と
Ｊ＜Ｊ´＜０（Alternating antiferromag. Heis.
chain）
- いずれも非磁性一重項基底状態の上に gap
- Ｊ＜Ｊ´＜
∞で、相転移はない（Ｊ´がferroだろうとantiferroだろうと...）
- 熱力学的には同じ性質
- 励起状態の波数依存性が異なる（励起三重項をつくる場所の問題）
- ＶＢＳが一意的につくれる系
- 有限系
- 端がない系＝非磁性分子
- 端がある系 -->
疑似四重縮重を示す系（量子効果の効き具合）
- 二次元以上
- 一意的なＶＢＳの構成可能性（トポロジー条件）：
「
スピン量子数の２倍２Ｓが、最近接数の整数倍かどうか？」
例）Ｓ＝3/2の蜂の巣格子（グラファイト型），Ｓ＝２の正方格子，
ダイアモンド格子、etc.
（ポリエチレンもダイアモンドも原子間距離が長ければ...）
- だが、高次元になるとスピン相関が伸びる -->
磁気秩序の可能性
- Spin Ladder（偶数本鎖）
補足： Spin ladderの磁性（基底状態）
- leg （梯子の長手方向） ：Ｊ
- rung（梯子の踏むところ）：Ｊ´
- Ｊ, Ｊ´＞０・・・基底状態は強磁性（自明）
- Ｊ, Ｊ´＜０
- 偶数本（2-leg ladder etc.）：spin gap あり
- 奇数本（3-leg ladder etc.）：spin gap なし
- Ｊ´＜０＜Ｊ
- leg１本は古典スピン的 --> Neel反強磁性？
- Ｓ＝０ の一次元鎖 -----> 非磁性 with spin
gap？
- Heisenbergスピンでは実際には後者（非磁性）
- Ising的にするとNeel, XY的にするとKT
- Ｊ＜０＜Ｊ´
- Haldaneからの類推：
- 偶数本（2-leg ladder etc.）：spin gap あり
- 奇数本（3-leg ladder etc.）：spin gap なし
- ところが、ＶＢＳの作り方は一意的でない
（ＲＶＢかＶＢＳか直観的には判断に困る）
（が、たぶん、どちらも並進対称性を破らないので）
- Heisenbergスピンでは、偶数本で Haldane-like な非磁性
- 強くIsing的にするとNeel,
- XY的にするとKTを経てFerroへ
結局、偶数本鎖の Heisenberg spin ladderは、
Ｊ,
Ｊ´＞０以外では、非磁性量子一重項基底状態
（２−４）二次元系
二次元Heisenberg強磁性体
- Ｔ＝０まで長距離秩序なし（Mermin-Wagnerの厳密証明）
- ＫＴ（Kosteritz-Thouless）転移（特にXY model）
- ある温度以下で磁化率発散
- その温度以下：スピンの渦が対をつくる
＝渦はエネルギーが高いので少ない
- その温度以上：スピンの渦は無制限にできる
- 超伝導のvortex状態に対応
二次元Heisenberg反強磁性体（Ｓ＝1/2）（高温超伝導の母体）
- 基底状態の証明はない
- Ｔ＝０まで長距離秩序なし、gapなし、と信じられている
- 一次元uniform chainとよく似ている
（２−５）三次元
- 弱い鎖間／層間相互作用の役割（現実の物質）
- 短距離秩序（short range order) --> 長距離秩序
- 短距離秩序で鎖・層のＳが大きくなったら古典化
- とりあえず、平均場で扱える
- こういうとき、メタ磁性が起こりやすい
- メタ磁性＝「反強磁性-->磁場誘起強磁性」の転移を示すもの
- 鎖内／層内が強磁性で、鎖間／層間の弱い反強磁性的
- 相互作用のせいで全体が反強磁性になっているとき
- 外部磁場のZeemanエネルギーが
- 反強磁性的相互作用に勝てば、強磁性になる
- Spin Flop との違い
- Spin ｆlopでは、一次相転移でスピンがまだ磁場に対して
傾いた状態になる
- メタ磁性では、一次相転移でスピンがいきなり磁場方向に
向いた状態になる
- 本物の三次元： flustrationがなければ、たいてい秩序化する
- 立方格子Ｓ＝1/2 反強磁性Heisenberg modelは証明あり
（２−６）Flustration（低次元に限った話ではないが）
- 典型例： Ising三角格子（基底状態は∞重縮重）
- Ｔ＝０でエントロピーが
non-zero（熱力学第三法則の対象外）
- 古典Heisenberg三角格子
- 120度構造の秩序
量子スピンの立場から注意
少なくとも有限系では
- ３Ｎ個の 整数スピンから
Ｓ＝０（縮重なし）が作れる
（Andersonが昔、三角格子でＲＶＢを...）
- ３Ｎ個の半奇数スピンからＳ＝1/2（２重縮重）が作れる
低次元系のまとめ
- 揺らぎが大きい（なかなか磁気秩序を示さない）
- 量子効果が強い（最近接数が少ない）
- 非磁性基底状態になるか否かはＶＢのトポロジーで決まる
- 反強磁性がnon-uniformに入ると、ＶＢＳができて
ゼロ次元に持っていかれる（かえって次元性を下げる）
（［２］の終わり）
［３］強相関系の磁性
（３−１）Hubbard modelとHeisenberg model
3-1-1． 2-site Hubbard model（水素分子の模型）
- ｔ ： transfer積分（Huckelの共鳴積分と同内容）
- U： on-site Coulomb反発
演算子の公式（c＋,
c：fermion演算子）
- c＋｜０＞＝±｜１＞
- c＋｜1＞＝０
- c ｜０＞＝０
- c ｜1＞＝±｜０＞
複号： 左に電子が偶数個なら＋、奇数個なら−
反交換関係：
- c＋ｊ
c＋ｋ＝−c＋ｋ
c＋ｊ,
- c ｊ c ｋ ＝−c ｋ
c ｊ
- c ｊ c＋ｋ
＝δｊ ｋ−
c＋ｋ c ｊ
ｎ： 数演算子
ｎｋ＝
c＋ｋ cｋ
行列要素の計算
はそのままＥ＝０の固有状態
残りの 
の対角化
==＞ 
- 基底状態（一重項・結合性）：
- 三重項状態（非結合性）
：Ｅ＝０
- イオン化状態（一重項） ：Ｅ＝Ｕ
- 反結合性的状態（一重項） ：
基底一重項 --> 三重項への励起エネルギー
これを交換相互作用と見なして、２Ｊ
と書く（kinetic exchange）
（ ｔ なしでも出てくるものはpotential
exchangeという）
＝＝＝＞ 低エネルギー部分は、Heisenberg model に帰着
Ｕ が大きくなると、基底一重項が不安定化
一般に、電子相関が強くなると、
イオン化配置が不安定化（電荷自由度減少）
--> 基底一重項の安定化への寄与減少
--> 磁性（スピン自由度）が出やすくなる
電荷揺らぎ(自由度) vs.
スピン揺らぎ(自由度)・・・互いに拮抗
3-1-2． ｔ -Ｊ model
以下、強相関（Ｕ >> ｔ ）とする
基底状態付近・・・２Ｊ＝４ｔ２/Ｕ のHeisenberg
modelで記述
（スピン自由度のみ考慮）
一般に、Ｕ >> ｔ のHubbard model
（1/2-filled）は、
２Ｊ＝４ｔ２/Ｕ の Heisenberg
model に帰着
ホールの占有数を制限：
次の変換で、スピン演算子をつくる
（ｔ-Ｊ model）
- 第１項： 電荷自由度
- 第２項： スピン自由度
- δ：占有数制限（half-filledでδ＝０）
さらに、
- 第２項： ＶＢのエネルギー（見かけ上はＶＢの一体問題）
- （b＋, b ：singlet
ＶＢの生成・消滅演算子）
これも ｔ-Ｊ
model（スピン自由度はＶＢの形成・切断で表現）
3-1-3． 寄り道：ＶＢのもつ対称性
局所gauge不変性： 
で b＋, b不変
----->
局所量子位相θjの任意性＝局所粒子数保存
“ベクトルポテンシャル”（磁気；運動量）と
“スカラーポテンシャル”（電気；座標）の任意性
Gauge変換
- 粒子の遍歴 --> 位相を揃える
- 粒子の局在 --> 数を保つ
・・・ 化学結合（b＋,
b）の物理的本性でもある
HamiltonianのTransfer項も局所gauge不変となるには、
ｔ jk --> ｔ jk
exp[ ｉ(θk−θi )]
ベクトルポテンシャルＡがあれば、ｔ
jk はｔ jk exp[ ｉｅａ Ａ
ki ]
局所gauge不変条件から、
つまり電子を、
- up-spinとdown spin、電荷０のfermion ｆ
- spinなし、電荷+1 のboson （ホール）ｂ
に分解
分解したまま（ ｆ と ｂ
が別々に励起できる）なら、
スピン-電荷分離（Luttinger liquidなど）
スピン-電荷分離と分子の問題については後述
（３−２） 有限Hubbard模型
・・・
Lieb定理、
あるいは Longuet-Higgins予想
Lieb-Mattis定理
- Lieb定理 （half-filled Hubbard model）
- Lieb-Mattis定理 （量子反強磁性Heisenberg model）
- Longuet-Higgins予想（Huckel交互炭化水素）
前提：
bipartiteな格子で、最近接相互作用のみ考える
bipartite とは
Ａ，Ｂ２つの副格子に分割できて、
Ａの最近接は全部Ｂ、
かつ、Ｂの最近接は全部Ａ
＝“交互炭化水素”・・・オルト-パラとか...（偶数員環）
Ｓ＝｜＊付原子数−＊なし原子数｜／２
基底状態のＳはそれぞれいくつ？
（トポロジカル条件）
定理の主張
- 副格子ＡとＢが同じサイト数（有限）なら、基底状態は１つでＳ＝０
- サイト数が異なれば、基底状態で、
Ｓ＝[非結合性軌道（電子）の数]／２＝｜サイト数の差｜／２
後述の分子磁性のトポロジカル規則の基礎
無限系への外挿（要注意！簡単な話ではない！）
Ｓ＝０基底状態がそのまま無限系の
非磁性状態になるとは限らない
エネルギーギャップが有限にとどまるか？
- 有限 --> 非磁性基底状態
- ゼロ --> 対称性が破れるか？
- 破れない --> 常磁性（例えば Bonner-Fisher）
- 破れる -->
磁気秩序（Neel反強磁性，複数基底状態)
例えば、
偶数員環のような圧倒的安定一重項になるか、
両端のあるHaldane系のような
ほとんど常磁性に近い一重項になるか、
は、議論を先に進めないとわからない。
（３−３） ＲＶＢ
反例：gap がゼロに向かう場合（Bonner-Fisher）
共鳴のメカニズム
１）スピンの量子性（交換量子トンネル）
１−２−３系で、１-２間 ｍＳ＝1/2
ＶＢ状態
にＳ２・Ｓ３を作用させると、
つまり、１-２間ＶＢが壊されて、
２-３間ＶＢができる （ＶＢが動いた)
＊注意： 電荷自由度なしでもＲＶＢはあり得る
２）電子の遍歴性（half-filledでない場合）
ホールとＶＢが互いに動く（分離もする）
- 高温超伝導で有名になったもの
- 結合交代なしのポリアセチレンやK-TCNQも
- 反強磁性相関に関係するspin (pseudo)gap？
--> ＶＢの切断エネルギー〜Ｊ（とすればspin gap）
--> 超伝導機構に関係がある？とかないとか...
Ｊ と ｔ
は、ＶＢを動かすという点では似ているという話
だが、１）と２）ではかなり性質が違うそうである
（［３］の終わり）
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